Zeige, dass bei der folgenden Formel zwar der Induktionsschritt funktioniert, jedoch nicht die Induktionsbasis:

´sum_(k=0)^n k^3 = (n^2(n + 1)^2)/4 - 1´

Die Behauptung muss dennoch falsch sein. Man sieht also, dass eine bewiesene Induktionsbasis essenziell für einen vollständigen Induktionsbeweis ist.

Solution

  • Induktionsbasis: ´n = 0´ a: ´sum_(k=0)^0 k^3 = 0´ b: ´(0^2(0 + 1)^2)/4 - 1 = -1´ ´=> a != b´

    Induktionsvoraussetzung: ´EE a in NN: sum_(k=0)^a k^3 = (a^2(a + 1)^2)/4 - 1´

    Induktionsschluss: ´sum_(k=0)^(a+1) k^3´ ´= sum_(k=0)^a k^3 + (a + 1)^3´ ´= (a^2(a + 1)^2)/4 - 1 + (a+1)(a+1)^2´ ´= (a^2(a + 1)^2)/4 - 1 + (4(a+1)(a+1)^2)/4´ (Distributivgesetz) ´= ((a + 1)^2 (a^2 + 4(a+1)))/4 - 1´ (Distributivgesetz) ´= ((a + 1)^2 (a^2 + 4a + 4))/4 - 1´ (Binomische Formel) ´= ((a + 1)^2 (a + 2)^2)/4 - 1´ ´= ((a + 1)^2 ((a + 1) + 1)^2)/4 - 1´

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Proof
  • Duration: 40min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi proof induction
  • Note:
    HPI, Mathematik I - Diskrete Strukturen und Logik, Wintersemester 2012/2013
  • Created By: adius
  • Created At:
    2013-04-12 16:49:14 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-21 04:14:47 UTC