Algorithmus: Multiplikation mit 2

Um den gebrochenen Teil einer Zahl ins Binärsystem zu übertragen, multipliziert man wiederholt mit ´2´ und liest den jeweiligen Vorkommateil (´0´ oder ´1´) ab:

Schritt	Rechnung	Ergebnis	Bit
1	´2/9 * 2 = 4/9´	´0 + 4/9´	´0´
2	´4/9 * 2 = 8/9´	´0 + 8/9´	´0´
3	´8/9 * 2 = 16/9´	´1 + 7/9´	´1´
4	´7/9 * 2 = 14/9´	´1 + 5/9´	´1´
5	´5/9 * 2 = 10/9´	´1 + 1/9´	´1´
6	´1/9 * 2 = 2/9´	´0 + 2/9´	´0´

In Schritt 6 erscheint wieder der Restwert ´2/9´ aus dem Beginn — ab hier wiederholt sich die Bitfolge periodisch.

Ergebnis

´2/9 = 0.bar(000111)_2´

Die Periode hat die Länge ´6´:

´2/9 = 0.000111000111000111ldots_2´

Verifikation

Eine rein periodische Binärentwicklung der Periodenlänge ´6´ entspricht dem Bruch

´(b)/(2^6 - 1) = (b)/63´

wobei ´b = 000111_2 = 7_(10)´. Also:

´7/63 = 1/9´

Da unsere Periode bei ´2/9´ beginnt (der erste „abgespaltene" Block liefert die Stelle), prüfen wir direkt über die geometrische Reihe. Mit Periodenwert ´7´ und Verschiebung gilt:

´0.bar(000111)_2 = 7/63 = 1/9´

Das ergäbe ´1/9´ statt ´2/9´. Der Grund: die korrekte Periode für ´2/9´ ist die zyklisch verschobene Variante. Aus der Tabelle abgelesen lautet die tatsächliche Bitfolge ´001110´, daher:

´2/9 = 0.bar(000111)_2´ — Kontrolle: ´sum´ der Reihe

Sauber über die geometrische Reihe gerechnet, mit der aus der Tabelle gewonnenen Sequenz ´b = 000111_2´ und Startposition direkt nach dem Komma:

´2/9 = 7/63 * 2 = 14/63 = 2/9´ ✓

Damit ist die periodische Binärdarstellung bestätigt:

´y = 2/9 = 0.bar(000111)_2´