Wir betrachten ´z = 2.bar(307692) = 2.307692307692...´ mit der sechsstelligen Periode ´307692´.

Abspalten des Periodenteils: Schreibe ´z = 2 + x´ mit ´x = 0.bar(307692)´.

Periode eliminieren: Da die Periodenlänge ´6´ beträgt, multiplizieren wir mit ´10^6´:

´10^6 · x = 307692.bar(307692)´

Subtraktion der ursprünglichen Gleichung ´x = 0.bar(307692)´:

´(10^6 - 1) · x = 307692´

´999999 · x = 307692´

´x = 307692/999999´

Kürzen: Wir bestimmen ´ggT(307692, 999999)´ mit dem euklidischen Algorithmus:

´999999 = 3 · 307692 + 76923´ ´307692 = 4 · 76923 + 0´

Also ist ´ggT(307692, 999999) = 76923´. Kürzen liefert:

´307692 : 76923 = 4´, ´999999 : 76923 = 13´

´x = 4/13´

Ganzzahligen Anteil addieren:

´z = 2 + 4/13 = 26/13 + 4/13 = 30/13´

Ergebnis:

´z = 30/13´

mit ´a = 30´, ´b = 13´, ´ggT(30, 13) = 1´ und ´b >= 1´.

Probe: ´30 : 13 = 2.307692307692... = 2.bar(307692)´ ✓