Sei ´M´ eine beliebige Menge mit ´R sube M^2´

Zeige:

  1. Wenn ´R´ gleichzeitig reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist, folgt ´R = id_M´
  2. Genau dann, wenn ´R´ transitiv ist, gilt ´R @ R sube R´
Solution
  • Sei ´(x,y) in R´ (Definition reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch)

    ´=> xRx ^^ xRy ^^ yRx ^^ (xRy ^^ yRx -> x=y)´ (´a => b = neg a v b´) ´=> xRx ^^ xRy ^^ yRx ^^ (neg (xRy ^^ yRx) vv x=y)´ (De Morgan) ´=> xRx ^^ xRy ^^ yRx ^^ (neg xRy vv neg yRx vv x=y)´ (Definition Identitätsrelation: y = x) ´=> xRx ^^ xRx ^^ xRx ^^ (neg xRx vv neg xRx vv x=x)´ (Tautolgie) ´=> xRx ^^ xRx ^^ xRx´ (Tautologie) ´=> xRx´ ´q.e.d.´

    <s>Kein abgeschlossener Beweis!</s>

    ´(x,y) in R @ R´ (Definition ´@´) ´=> EEz : (x,z) in R ^^ (z,y) in R´ (Distributivgesetz) ´=> EEz : ((x,z) ^^ (z,y)) in R´ (Definition Transitivität) ´=> (x,y) in R´ ´q.e.d.´

    <s>Rückrichtung</s>

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Proof
  • Duration: 35min
  • Credits: 4
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: proof set
  • Note:
    HPI, Mathematik I - Diskrete Strukturen und Logik, Wintersemester 2012/2013
  • Created By: adius
  • Created At:
    2013-04-12 16:49:14 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-20 20:14:27 UTC