Zeige mit Hilfe der vollständigen Induktion:

Für alle natürlichen Zahlen ´N´ (inkl. der 0) gilt ´n^4 - 4n^2´ ist durch ´3´ teilbar.

Solution
  • Induktionsbasis:

    ´n = 0´ ´=> (n^4 - 4n^2) | 3´ ´=> (0^4 - 4 * 0^2) | 3´ ´=> 0 | 3´

    Induktionsvorraussetzung:

    ´AA n in NN: (n^4 - 4n^2) | 3´

    Induktionsschluss:

    ´(n + 1)^4 - 4(n + 1)^2´ ´= n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 - 4n^2 + 8n - 4´ ´= n^4 + 4n^3 + 2n^2 - 4n - 3´ ´= (n^4 - 4n^2 ) + (4n^3 + 6n^2 - 4n - 3)´ ´= (n^4 - 4n^2 ) + (3n^3 + 6n^2 - 3n - 3) + (n^3 - n)´ ´= (n^4 - 4n^2 ) + 3(n^3 + 2n^2 - n - 1)+ n(n^2 - 1)´ ´= (n^4 - 4n^2 ) + 3(n^3 + 2n^2 - n - 1) + n (n - 1)(n+1)´

    Nun sind alle 3 Summanden durch 3 teilbar:

    1. Nach Induktionsvoraussetzung
    2. Ganzes vielfaches von 3</li>
    3. Von den 3 aufeinanderfolgenden Zahlen ´(n-1)´, ´n´ und ´(n+1)´ muss eine durch 3 teilbar sein

    Somit ist auch die Summe durch 3 teilbar.

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Proof
  • Duration: 35min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi induction
  • Note:
    HPI, Mathematik I - Diskrete Strukturen und Logik, Wintersemester 2012/2013
  • Created By: adius
  • Created At:
    2013-04-12 16:49:14 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-21 04:40:10 UTC