Urne A enthält 7 rote und 3 schwarze Kugeln, Urne B enthält 3 rote und 2 schwarze Kugeln, Urne C enthält 1 rote und 4 schwarze Kugeln und Urne D enthält 2 weiße und 2 schwarze Kugeln. Es wird zufällig eine Urne ausgewählt und hieraus eine Kugel gezogen. Ohne Zurücklegen wird beides danach wiederholt.

Berechne und begründe:

  1. Die Wahrscheinlichkeit als erstes eine rote Kugel zu ziehen. (1)
  2. Es wird als erstes eine rote Kugel gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der sie aus Urne A, B, C oder D stammt. (2)
  3. Die Wahrscheinlichkeit auch als zweites eine rote Kugel zu ziehen. (2)
  4. Es wurde auch als zweites eine rote Kugel gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der sie aus Urne A, B, C oder D stammt. (2)
Solution

    1. Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Urne auszuwählen: ´P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/4´

      r := rote Kugel ziehen

      ´P(r) = P(A nn r) + P(B nn r) + P(C nn r) + P(D nn r)´ ´= 1/4 * 7/10 + 1/4 * 3/5 + 1/4 * 1/5 + 1/4 * 0´ ´= 7/40 + 3/20 + 1/20´ ´= 7/40 + 6/40 + 2/40´ ´= 15/40´ ´= 3/8´

    2. ´P_r(A) = (P(A nn r))/(P(r)) = (7/40)/(3/8) = 7/15´ ´P_r(B) = (P(B nn r))/(P(r)) = (3/20)/(3/8) = 2/5´ ´P_r(C) = (P(C nn r))/(P(r)) = (1/20)/(3/8) = 2/15´ ´P_r(D) = 0´

    3. ´P(r, r) = 1/4 * (7/10 * 1/4 * (6/9 + 3/5 + 1/5)´´+ 3/5 * 1/4 * (7/10 + 2/4 + 1/5)´´+ 1/5 * 1/4 * (7/10 + 3/5 + 0) + 0)´´= 319/2400´

    4. ´P_(2r)(A)´ ´= (P(A nn r_2))/(P(r_2))´ ´= (1/16 * (7/10 * 2/3 + 3/5 * 7/10 + 1/5 * 7/10))/(319/2400)´ ´= (1/16 * 77/75)/(319/2400)´ ´= 154/319´ ´= 14/29´

      ´P_(2r)(B)´ ´= (P(B nn r_2))/(P(r_2))´ ´= (1/16 * (7/10 * 3/5 + 3/5 * 2/4 + 1/5 * 3/5))/(319/2400)´ ´= 126/319´

      ´P_(2r)(C)´ ´= (P(C nn r_2))/(P(r_2))´ ´= (1/16 * (7/10 * 1/5 + 3/5 * 1/5 + 1/5 * 0))/(319/2400)´ ´= 39/319´

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Calculate
  • Duration: 40min
  • Credits: 7
  • Difficulty: 0.5
  • Tags: hpi stochastics urn
  • Note:
    HPI, Mathematik I - Diskrete Strukturen und Logik, WS 2012/2013, Nr. 35
  • Created By: adius
  • Created At:
    2013-04-12 16:49:14 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-21 08:40:00 UTC