Exercise

Eine Folge ´(a_n)_(n in NN)´ sei durch die Anfangswerte ´a_0 := 1´ und ´a_1 := 2´ sowie die Rekursionsvorschrift ´a_(n+2) := 4a_(n+1) − a_n´ gegeben.

Finde eine explizite Bildungsvorschrift für ´(a_n)´.

(a) Vernachlässige zunächst die Anfangswerte und bestimme alle reellen Zahlen ´x != 0´, für die die Folge ´a_n = x^n´ der obigen Rekursionsvorschrift genügt.
(b) Wenn zwei Folgen ´(a_n)´ und ´(a'_n)´ beide die obige Rekursionsvorschrift erfüllen, dann gilt das auch für jede Folge ´(alpha a_n + beta a'_n)´ mit ´alpha, beta in RR´. Bestimme zu den Lösungen ´x_1´ und ´x_2´ aus (a) geeignete Zahlen ´alpha´ und ´beta´, so dass die Folge ´(alpha x_1^n + beta x_2^n)´ auch den Anfangsbedingungen genügt.

Approach

Wir setzen den Ansatz ´a_n = x^n´ mit ´x != 0´ in die Rekursion ´a_(n+2) = 4a_(n+1) - a_n´ ein:

´x^(n+2) = 4x^(n+1) - x^n´

Division durch ´x^n != 0´ liefert die charakteristische Gleichung:

´x^2 = 4x - 1 quad Leftrightarrow quad x^2 - 4x + 1 = 0´

Mit der ´p´-´q´-Formel:

´x_(1,2) = 2 +- sqrt(4 - 1) = 2 +- sqrt(3)´

Also sind die Lösungen:

´x_1 = 2 + sqrt(3), quad x_2 = 2 - sqrt(3)´

Jede der Folgen ´(x_1^n)´ und ´(x_2^n)´ erfüllt die Rekursionsvorschrift.

Nach dem Superpositionsprinzip erfüllt auch jede Linearkombination

´a_n = alpha x_1^n + beta x_2^n´

die Rekursion. Wir bestimmen ´alpha, beta´ so, dass ´a_0 = 1´ und ´a_1 = 2´ gelten:

´n = 0: quad alpha + beta = 1´

´n = 1: quad alpha(2 + sqrt(3)) + beta(2 - sqrt(3)) = 2´

Aus der ersten Gleichung folgt ´beta = 1 - alpha´. Einsetzen in die zweite:

´alpha(2 + sqrt(3)) + (1 - alpha)(2 - sqrt(3)) = 2´

´2alpha + sqrt(3) alpha + 2 - sqrt(3) - 2alpha + sqrt(3) alpha = 2´

´2 sqrt(3) alpha - sqrt(3) = 0 quad Leftrightarrow quad alpha = 1/2´

Damit ´beta = 1 - 1/2 = 1/2´.

Solution