Beweise folgenden auch "Sandwich - Theorem" genannten Satz:

Es seien ´ul a = (a_n)_(n in NN)´, ´ul b = (b_n)_(n in NN)´ und ´ul c = (c_n)_(n in NN)´ reelle Zahlenfolgen mit ´c_n <= a_n <= b_n´ für alle ´n´. Wenn ´b´ und ´c´ konvergieren und denselben Grenzwert ´a´ haben, ´lim_(n -> oo) b_n = lim_(n -> oo) c_n = a´ dann ist auch ´ul a´ konvergent mit ´lim_(n -> oo) a_n = a´.

Solution

  • ´EE n_1: AA n >= n_1 : |a - b_n| < epsilon <=> a - epsion < b_n < epsilon + a´ ´EE n_2: AA n >= n_2 : |a - c_n| < epsilon <=> a - epsion < c_n < epsilon + a´

    Sei ´n_0 := max{n_1, n_2}´ ´=> AA n >= n_0: |a - c_n| < epsilon ^^ |a - b_n| < epsilon´ mit ´c_n <= a_n <= b_n: a - epsilon < c_n <= a_n <= b_n < a + epsilon´ ´=> a - epsilon < a_n < a + epsilon <=> |a - a_n| < epsilon´

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  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Proof
  • Duration: 30min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi squeeze theorem
  • Note:
    HPI, 2014-04-28, Mathe 2, Aufgabe 13
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-26 09:43:50 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-26 09:43:50 UTC