Es sei ´q in RR´ mit ´0 < q < 1´ und es sei ´a_n = 3q^n + 1/(2n + 1)´. Weiter sei ´varepsilon in RR´, ´varepsilon > 0´. Finde eine natürliche Zahl ´n_0 = n_0(varepsilon)´, so dass für alle ´n >= n_0´ die Ungleichung ´|a_n| < varepsilon´ gilt (mit Nachweis).

Approach

"Gesucht: ´n_0: AA n >= n_0: |a_n| < epsilon´\n´|a_n| < epsilon <=> |3q^n <= 1/(2n+1)| < epsilon´\n´|3q^n <= 1/(2n+1)| < |3q^n| + |1/(2n+1)|´\n\nGesucht: ´n_1, n_2´ so dass:\n´AA n >= n_1 |3q^n| < epsilon/2´\n´AA n >= n_2 |1/(2n+1)| < epsilon/2´\n\n´=> n_1, n_2´ ausrechnen\n\n´n_0 max {n_1, n_2}´\n\n´=> n_0 >= n_1 => 3q^n < epsilon/2´\n´=> n_0 >= n_2 => 1/(2n+1) < epsilon/2´\n\n´=> |3q^n <= 1/(2n+1)| <= 3q^n + 1/(2n+1) < epsilon/2 + epsilon/2´\n´=> |3q^n <= 1/(2n+1)| <= 3q^n + 1/(2n+1) < epsilon´"


  • URL:
  • Language: Deutsch
  • Subjects: math
  • Type: Calculate
  • Duration: 30min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi
  • Note:
    HPI, 2014-04-28, Mathe 2, Aufgabe 14
  • Created By: ad-si
  • Created At:
    2014-07-26 09:46:01 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-26 09:46:01 UTC