Es sei

´a_n := (b_0n^k + b_1nk−1 + … + b_(k−1) n + b_(k-1)n + b_k)/(c_0n^l + c_1 n^(l−1) + … + c_(l−1)n + c_l)´

mit ´l, k in NN´, ´b_0, … , b_k, c_0, … ,c_l in RR´ und ´b_0 != 0´ und ´c_0 != 0´. Wir betrachten die Folge ´(a_n)_(n >= n_0)´, wobei ´n_0´ eine natürliche Zahl ist, die größer als alle eventuell vorhandenen Nullstellen des Nennerpolynoms ist.

Bestimme ´lim_(n -> oo) a_n´.

Approach

Es müssen 3 Fälle untersucht werden:

´k > l´, ´k = l´ und ´k < l´

´a_n := n^k/n^l * (b_0 + b_1 1/(n^1) + … + b_(k−1) 1/n^(k-1) + b_k 1/n^k)/(c_0 + c_1 1/(n^1) + … + c_(l−1) 1/(n^(l-1)) + c_l 1/n^l)´

So sieht man, dass der Multiplikand gegen eine Konstante geht und dadurch nur noch der Multiplikator das Verhalten beeinflusst.

´k > l´: ´lim_(n -> oo) a_n = +-oo´ (Je nach Vorzeichen von ´b_0´ und ´c_0´) ´k = l´: ´lim_(n -> oo) a_n = b_0/c_0´ ´k < l´: ´lim_(n -> oo) a_n = 0´


Solution

  • ´k > l´: ´lim_(n -> oo) a_n = +-oo´ (Je nach Vorzeichen von ´b_0´ und ´c_0´) ´k = l´: ´lim_(n -> oo) a_n = b_0/c_0´ ´k < l´: ´lim_(n -> oo) a_n = 0´

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  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Calculate
  • Duration: 25min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.5
  • Tags: hpi limes
  • Note:
    HPI, 2014-04-28, Mathe 2, Aufgabe 15
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-26 09:47:40 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-26 09:47:40 UTC