Es sei

´a_n := (b_0n^k + b_1nk−1 + … + b_(k−1) n + b_(k-1)n + b_k)/(c_0n^l + c_1 n^(l−1) + … + c_(l−1)n + c_l)´

mit ´l, k in NN´, ´b_0, … , b_k, c_0, … ,c_l in RR´ und ´b_0 != 0´ und ´c_0 != 0´. Wir betrachten die Folge ´(a_n)_(n >= n_0)´, wobei ´n_0´ eine natürliche Zahl ist, die größer als alle eventuell vorhandenen Nullstellen des Nennerpolynoms ist.

Bestimme ´lim_(n -> oo) a_n´.

Approach

"Es müssen 3 Fälle untersucht werden:\n\n´k > l´, ´k = l´ und ´k < l´\n\n´a\n := n^k/n^l * (b\_0 + b\1 1/(n^1) + … + b\(k−1) 1/n^(k-1) + b\_k 1/n^k)/(c\_0 + c\1 1/(n^1) + … + c\(l−1) 1/(n^(l-1)) + c\_l 1/n^l)´\n\nSo sieht man, dass der Multiplikand gegen eine Konstante geht und dadurch nur noch der Multiplikator das Verhalten beeinflusst.\n\n´k > l´: ´lim\(n -> oo) a\_n = +-oo´ (Je nach Vorzeichen von ´b\_0´ und ´c\0´)\n´k = l´: ´lim\(n -> oo) a\_n = b\_0/c\_0´\n´k < l´: ´lim\_(n -> oo) a\_n = 0´"


Solution

  • ´k > l´: ´lim_(n -> oo) a_n = +-oo´ (Je nach Vorzeichen von ´b_0´ und ´c_0´) ´k = l´: ´lim_(n -> oo) a_n = b_0/c_0´ ´k < l´: ´lim_(n -> oo) a_n = 0´

  • URL:
  • Language: Deutsch
  • Subjects: math
  • Type: Calculate
  • Duration: 25min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.5
  • Tags: hpi limes
  • Note:
    HPI, 2014-04-28, Mathe 2, Aufgabe 15
  • Created By: ad-si
  • Created At:
    2014-07-26 09:47:40 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-26 09:47:40 UTC