Es sei ´f(x) = (x^2 − 5x + 6)/(x − 4)´

  1. Berechne die Ableitung f'(x) und gib deren Definitionsbereich an.
  2. Berechne die Nullstellen der Ableitung und bestimme das Vorzeichen von f'(x) auf den Intervallen an, die von den Nullstellen bzw. der Definitionslücke begrenzt werden.
  3. Ermittle die lokalen Extrema der ursprünglichen Funktion ´f(x)´, einschließlich der Funktionswerte. Begründe, dass dort Extremwerte vorliegen und erstellen eine grobe Skizze des Graphen von f(x).
Approach

Teil 1

´d/dx ((x^2 − 5x + 6)/(x − 4))´

Quotientenregel: ´= ((x-4)d/(dx)(6-5x+x^2)-(x^2-5x+6) d/(dx)(-4+x))/((x-4)^2)´ ´=((d/(dx)(x^2)−5)⋅(x−4)−1⋅(x^2−5x+6))/((x−4)^2)´ ´=(−x^2+5x+(2x−5)⋅(x−4)−6)/((x−4)^2)´ ´=(x^2-8x+14)/((x−4)2)´

´D = RR setminus {4}´

Teil 2

Solve for x over the real numbers:

Multiply both sides by the polynomial ´(x-4)^2´ to clear fractions. ´-6+5 x-x^2+(x-4) (2 x-5) = 0´

Write the quadratic polynomial on the left hand side in standard form. Expand out terms of the left hand side: ´x^2-8 x+14 = 0´

Solve the quadratic equation by completing the square. Subtract 14 from both sides: ´x^2-8 x = -14´

Take one half of the coefficient of x and square it, then add it to both sides. Add 16 to both sides: ´x^2-8 x+16 = 2´

Factor the left hand side. Write the left hand side as a square: ´(x-4)^2 = 2´

Eliminate the exponent on the left hand side. Take the square root of both sides: ´x-4 = sqrt(2)´ or ´x-4 = -sqrt(2)´

Look at the first equation: Solve for x. Add 4 to both sides: ´x = 4+sqrt(2)´ or ´x-4 = -sqrt(2)´

Look at the second equation: Solve for x. Add 4 to both sides: ´x = 4+sqrt(2)´ or ´x = 4-sqrt(2)´

´] -oo, 4 - sqrt(2) [´: positive ´] 4 - sqrt(2), 4 [´: negative ´] 4, 4 + sqrt(2) [´: negative ´] 4 + sqrt(2), oo [´: positive

Teil 3

Die Extremwerte sind die Nullstellen der Ableitung und die Vorzeichenwechsel.

Also ´4 - sqrt(2)´ und ´4 + sqrt(2)´

Die entsprechenden ´y´ Werte sind:

´f(4 - sqrt(2)) = 3 - 2 sqrt(2)´ ´f(4 + sqrt(2)) = 3 + 2 sqrt(2)´

Lokales Maximum: ´(4 - sqrt(2), 3 - 2 sqrt(2))´ Lokales Minimum: ´(4 + sqrt(2), 3 + 2 sqrt(2))´


Solution

    1. ´(x^2-8x+14)/((x−4)2)´ ´D = RR setminus {4}´

    2. ´x = 4+sqrt(2)´ or ´x = 4-sqrt(2)´

      ´] -oo, 4 - sqrt(2) [´: positive ´] 4 - sqrt(2), 4 [´: negative ´] 4, 4 + sqrt(2) [´: negative ´] 4 + sqrt(2), oo [´: positive

    3. Lokales Maximum: ´(4 - sqrt(2), 3 - 2 sqrt(2))´ Lokales Minimum: ´(4 + sqrt(2), 3 + 2 sqrt(2))´

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  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Calculate
  • Duration: 35min
  • Credits: 6
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi curve sketching
  • Note:
    HPI, 2014-05-12, Mathe 2, Aufgabe 21
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-26 11:37:10 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-26 11:37:10 UTC