Es sei ´f(x) = (x^2 − 5x + 6)/(x − 4)´

  1. Berechne die Ableitung f'(x) und gib deren Definitionsbereich an.
  2. Berechne die Nullstellen der Ableitung und bestimme das Vorzeichen von f'(x) auf den Intervallen an, die von den Nullstellen bzw. der Definitionslücke begrenzt werden.
  3. Ermittle die lokalen Extrema der ursprünglichen Funktion ´f(x)´, einschließlich der Funktionswerte. Begründe, dass dort Extremwerte vorliegen und erstellen eine grobe Skizze des Graphen von f(x).
Approach

"Teil 1\n\n´d/dx ((x^2 − 5x + 6)/(x − 4))´\n\nQuotientenregel:\n´= ((x-4)d/(dx)(6-5x+x^2)-(x^2-5x+6) d/(dx)(-4+x))/((x-4)^2)´\n´=((d/(dx)(x^2)−5)⋅(x−4)−1⋅(x^2−5x+6))/((x−4)^2)´\n´=(−x^2+5x+(2x−5)⋅(x−4)−6)/((x−4)^2)´\n´=(x^2-8x+14)/((x−4)2)´\n\n´D = RR setminus {4}´\n\n\nTeil 2\n\nSolve for x over the real numbers:\n\t\nMultiply both sides by the polynomial ´(x-4)^2´ to clear fractions.\n´-6+5 x-x^2+(x-4) (2 x-5) = 0´\n\nWrite the quadratic polynomial on the left hand side in standard form.\nExpand out terms of the left hand side:\n´x^2-8 x+14 = 0´\n\nSolve the quadratic equation by completing the square.\nSubtract 14 from both sides:\n´x^2-8 x = -14´\n\nTake one half of the coefficient of x and square it, then add it to both sides.\nAdd 16 to both sides:\n´x^2-8 x+16 = 2´\n\nFactor the left hand side.\nWrite the left hand side as a square:\n´(x-4)^2 = 2´\n\nEliminate the exponent on the left hand side.\nTake the square root of both sides:\n´x-4 = sqrt(2)´ or ´x-4 = -sqrt(2)´\n\nLook at the first equation: Solve for x.\nAdd 4 to both sides:\n´x = 4+sqrt(2)´ or ´x-4 = -sqrt(2)´\n\nLook at the second equation: Solve for x.\nAdd 4 to both sides:\n´x = 4+sqrt(2)´ or ´x = 4-sqrt(2)´\n\n´] -oo, 4 - sqrt(2) [´: positive\n´] 4 - sqrt(2), 4 [´: negative\n´] 4, 4 + sqrt(2) [´: negative\n´] 4 + sqrt(2), oo [´: positive\n\n\nTeil 3\n\nDie Extremwerte sind die Nullstellen der Ableitung und die Vorzeichenwechsel.\n\nAlso ´4 - sqrt(2)´ und ´4 + sqrt(2)´\n\nDie entsprechenden ´y´ Werte sind:\n\n´f(4 - sqrt(2)) = 3 - 2 sqrt(2)´\n´f(4 + sqrt(2)) = 3 + 2 sqrt(2)´\n\nLokales Maximum: ´(4 - sqrt(2), 3 - 2 sqrt(2))´\nLokales Minimum: ´(4 + sqrt(2), 3 + 2 sqrt(2))´"


Solution

    1. ´(x^2-8x+14)/((x−4)2)´ ´D = RR setminus {4}´

    2. ´x = 4+sqrt(2)´ or ´x = 4-sqrt(2)´

      ´] -oo, 4 - sqrt(2) [´: positive ´] 4 - sqrt(2), 4 [´: negative ´] 4, 4 + sqrt(2) [´: negative ´] 4 + sqrt(2), oo [´: positive

    3. Lokales Maximum: ´(4 - sqrt(2), 3 - 2 sqrt(2))´ Lokales Minimum: ´(4 + sqrt(2), 3 + 2 sqrt(2))´

  • URL:
  • Language: Deutsch
  • Subjects: math
  • Type: Calculate
  • Duration: 35min
  • Credits: 6
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi curve sketching
  • Note:
    HPI, 2014-05-12, Mathe 2, Aufgabe 21
  • Created By: ad-si
  • Created At:
    2014-07-26 11:37:10 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-26 11:37:10 UTC