Beweise: ´H = (: H, @, e:)´ sei ein Monoid. Mit ´H_"inv"´ bezeichnen wir die Menge der invertierbaren Elemente aus ´H´, ´H_"inv" := {a in H | (EE x in H) ax = xa = e}´. Dann ist ´(: H_"inv", @, ^(−1), e :)´ eine Gruppe.

Es kann folgendes vorausgesetzt werden:

In einer Halbgruppe ´H = (: H, @ :)´ kann es höchstens ein neutrales Element ´e´ geben. Wenn ´H = (: H, @, e :)´ ein Monoid ist, dann kann ein Element ´a in H´ höchstens ein Inverses haben.

Weiter gilt: Das neutrale Element ´e´ eines Monoides ´(: H, @, e :)´ ist invertierbar mit ´e^(−1) = e´.

Ist ´a in H´ invertierbar, dann ist auch ´a^(−1)´ invertierbar und es gilt ´(a^(−1))^(−1) = a´. Sind ´a´ und ´b´ invertierbar, so auch ´a @ b´ und es gilt ´(a @ b)^(−1) = b^(−1) @ a^(−1)´.

Solution

  • Zu zeigen: ´(: H_"inv", @, ^(−1), e :)´ ist eine Gruppe

    Da ´e^(-1) = e´ ist ´e in H_"inv"´.

    ´H_"inv" != H^(-1)´, ´(H_"inv")^(-1) = H_"inv"´

    Des Weiteren sieht man, dass die Gruppenaxiome gelten:

    ´(a^(−1) @ b^(−1)) @ c^(−1) = a^(−1) @ (b^(−1) @ c^(−1))´ ´a^(−1) @ e^(−1) = e^(−1) @ a^(−1) = a^(−1)´ ´a^(−1) @ (a^(−1))^(−1) = (a^(−1))^(−1) @ a^(−1) = e´ (´a^(−1) @ a = a @ a^(−1) = e´)

    Somit sind alle nötigen Vorraussetzungen gegeben und es ist bewiesen, dass ´(: H_"inv", @, ^(−1), e :)´ eine Gruppe ist.

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Proof
  • Duration: 25min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi semigroup monoid
  • Note:
    HPI, 2014-06-02, Mathe 2, Aufgabe 33
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-26 15:52:29 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-26 15:54:15 UTC