Teil 1

Es gibt ´phi(phi(13)) = phi(12) = 4´ Primitivwurzeln

´a´ ist genau dann Primitivwurzel, wenn für alle Primteiler ´q´ von ´phi(m)´ folgende Bedingung gilt:

´a^((phi(m))/q) != 1 (mod 13)´

Primteiler von ´12´ sind ´2´ und ´3´

´a^(12/2) (mod 13) = a^6 (mod 13)´ ´a^(12/3) (mod 13) = a^4 (mod 13)´

Ausprobieren:

´2^6 = 64 -= 12 (mod 13) != 1 (mod 13)´ ´2^4 = 16 -= 3 (mod 13) != 1 (mod 13)´

´=> 2´ ist Primitivwurzel, ´[2]_13´ ist ein erzeugendes Element

Teil 2

| | | | | | | | | | | | -|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|- ´a \ (ZZ_12)´ | ´0´ | ´1´ | ´2´ | ´3´ | ´4´ | ´5´ | ´6´ | ´7´ | ´8´ | ´9´ | ´10´ | ´11´ ´h(a) \ (ZZ_13^xx)´ | ´1´ | ´2´ | ´4´ | ´8´ | ´3´ | ´6´ | ´12´ | ´11´ | ´9´ | ´5´ | ´10´ | ´7´

´h(k) = [2^k]_13´

Teil 3

Teilerfremd zu ´12´ sind ´1,5,7,11´

´2^1 -= 2 (mod 13)´ ´2^5 -= 6 (mod 13)´ ´2^7 -= 11 (mod 13)´ ´2^11 -= 7 (mod 13)´

=> Erzeugende Elemente sind ´2,6,11,7´