Betrachte die zyklische Gruppe ´(: ZZ_13^xx; * :)´

  1. Finde mit Begründung ein erzeugendes Element dieser Gruppe
  2. Gib mit Hilfe einer vollständigen Tabelle einen Gruppen-Isomorphismus ´h: (: ZZ_12, + :) -> (: ZZ_13^xx, * :)´ an
  3. Gib alle erzeugenden Elemente von ´(: ZZ_13^xx, * :)´ an
Approach

Teil 1

Es gibt ´phi(phi(13)) = phi(12) = 4´ Primitivwurzeln

´a´ ist genau dann Primitivwurzel, wenn für alle Primteiler ´q´ von ´phi(m)´ folgende Bedingung gilt:

´a^((phi(m))/q) != 1 (mod 13)´

Primteiler von ´12´ sind ´2´ und ´3´

´a^(12/2) (mod 13) = a^6 (mod 13)´ ´a^(12/3) (mod 13) = a^4 (mod 13)´

Ausprobieren:

´2^6 = 64 -= 12 (mod 13) != 1 (mod 13)´ ´2^4 = 16 -= 3 (mod 13) != 1 (mod 13)´

´=> 2´ ist Primitivwurzel, ´[2]_13´ ist ein erzeugendes Element

Teil 2

´a \ (ZZ_12)´ ´0´ ´1´ ´2´ ´3´ ´4´ ´5´ ´6´ ´7´ ´8´ ´9´ ´10´ ´11´
´h(a) \ (ZZ_13^xx)´ ´1´ ´2´ ´4´ ´8´ ´3´ ´6´ ´12´ ´11´ ´9´ ´5´ ´10´ ´7´

´h(k) = [2^k]_13´

Teil 3

Teilerfremd zu ´12´ sind ´1,5,7,11´

´2^1 -= 2 (mod 13)´ ´2^5 -= 6 (mod 13)´ ´2^7 -= 11 (mod 13)´ ´2^11 -= 7 (mod 13)´

=> Erzeugende Elemente sind ´2,6,11,7´


Solution
    1. ´[2]_13´
    2. ´h(k) = [2^k]_13´
    3. ´2, 6, 11, 7´
  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Name
  • Duration: 35min
  • Credits: 4
  • Difficulty: 0.7
  • Tags: hpi cyclic group isomorphism
  • Note:
    HPI, 2014-06-16, Mathe 2, Aufgabe 44
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-26 18:39:44 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-27 19:48:59 UTC