Im Euklidischen ´RR´-Vektorraum ´RR^4´ (mit Standardskalarprodukt) sei folgender Untervektorraum ´U <= RR^4´ gegeben:

´U = span{((3),(4),(0),(0)), ((3),(4),(8),(6)), ((7),(1),(7),(-1))}´

Finde eine Orthonormalbasis für ´U´.

Approach

Zur Berechnung der Orthonormalbasis wird das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren verwendet.

´vec v_1 = (vec u_1)/(|vec u_1|) = ((3),(4),(0),(0)) * 1/sqrt(9 + 16 + 0 + 0)´ ´= 1/5 ((3),(4),(0),(0))´

´vec v_2^' = vec u_2 - (vec u_2 * vec v_1) * vec v_1´ ´= ((3),(4),(8),(6)) - (((3),(4),(8),(6)) * 1/5 ((3),(4),(0),(0))) * 1/5 ((3),(4),(0),(0))´ ´= ((3),(4),(8),(6)) - 1/5(9 + 16 + 0 + 0) * 1/5 ((3),(4),(0),(0))´ ´= ((3),(4),(8),(6)) - ((3),(4),(0),(0))´ ´= ((0),(0),(8),(6))´

´vec v_2 = ((0),(0),(8),(6)) * 1\sqrt(64 + 36) = 1/10 ((0),(0),(8),(6))´

´vec v_3^' = vec u_3 - (vec u_3 * vec v_2 ) * vec v_2´ ´= ((7),(1),(7),(-1)) - (((7),(1),(7),(-1)) * ((0),(0),(4//5),(3//5))) * ((0),(0),(4//5),(3//5)))´ ´= ((7),(1),(7),(-1)) - (0 + 0 + 28/5 - 3/5) * ((0),(0),(4//5),(3//5)))´ ´= ((7),(1),(7),(-1)) - ((0),(0),(4),(3)))´ ´= ((7),(1),(3),(-4))´

´vec v_3 = ((7),(1),(3),(-4)) * 1\sqrt(9 + 16) = 1/5 ((7),(1),(3),(-4))´

´=> E = ((3//5),(4//5),(0),(0)), ((0),(0),(4//5),(3//5)), ((7//5),(1//5),(3//5),(-4//5))´


Solution

  • ´((3//5),(4//5),(0),(0)), ((0),(0),(4//5),(3//5)), ((7//5),(1//5),(3//5),(-4//5))´

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math
  • Type: Calculate
  • Duration: 25min
  • Credits: 3
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: hpi vector space orthonormal basis
  • Note:
    HPI, 2014-07-07, Mathe 2, Aufgabe 56
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-26 21:37:04 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-28 15:45:27 UTC