Der Vektor ´vec v in RR^3´ hat (bezüglich der Standardbasis) die Darstellung ´vec v = [(2),(1),(4)]´ und die lineare Abbildung ´h_A: RR^3 -> RR^3´ ist durch die Matrix ´A = [(1,2,0), (1,-1,3), (0,2,0)]´ gegeben ´(h^A(vec x) = A vec x)´.
Welche Koordinatendarstellung hat ´vec v´ bei der Basis ´[(0),(1),(1)]´, ´[(1),(0),(1)]´, ´[(1),(1),(0)]´ und durch welche Matrix wird ´h_A´ bei dieser Basis dargestellt?
Um diese Frage zu beantworten, muss man die Transformationsmatrizen ´T_E^F´ und ´T_F^E´ besorgen. Dabei ist
´E = [(1),(0),(0)], [(0),(1),(0)], [(0),(0),(1)]´
die Standardbasis und
´F = [(0),(1),(1)], [(1),(0),(1)], [(1),(1),(0)]´
die neue Basis. Es gelten folgende Beziehungen:
´T_E^F = (phi^F(e_1), …, phi^F(e_n))´ und ´T_F^E = (phi^E(f_1), …, phi^E(f_n)´.
Außerdem ist ´T_E^F T_F^E = T_F^E T_E^F = I´. Damit haben wir sofort ´T_F^E´:
´T_F^E = [(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)]´
Wegen ´T_F^E T_E^F = I´ gilt ´T_E^F = (T_F^E)−1´. Daraus folgt:
´T_E^F = [(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)]^(-1) = 1/2 [(-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1)]´
Nun muss man nur noch die Transformationsformeln anwenden. Es gilt: ´phi^F (vec v) = T_E^F phi^E (vec v)´
Die Darstellung von ´vec v´ bezüglich der Standardbasis ´E´ ist ´phi^E (vec v) = vec v = [(2),(4),(1)]´. Das ergibt dann:
´phi^F(vec v) = 1/2 [(-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1)] * [(2),(4),(1)] = 1/2 [(3),(-1),(5)]´
Für die Matrix ´A´ gilt ´A = M_E^E (h)´. Es ist die Matrix ´M_F^F (h)´, die dieselbe lineare Abbildung ´h´ bezüglich der zweiten Basis beschreibt. Wegen ´M_F^F (h) = T_E^F M_E^E (h) T_F^E = T_E^F A T_F^E´ folgt:
´M_F^F (h) = T_E^F A T_F^E = 1/2 [(-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1)] @ [(1,2,0), (1,-1,3), (0,2,0)] @ [(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)]´ ´= 1/2 [(0,-1,3), (0,5,-3), (2,-1,3)] @ [(0,1,1), (1,0,1), (1,1,0)]´ ´= 1/2 [(2,3,-1), (2,-3,5), (2,5,1)]´
´phi^F(vec v) = 1/2 [(3),(-1),(5)]´
´M_F^F (h) = 1/2 [(2,3,-1), (2,-3,5), (2,5,1)]´
HPI, 2014-07-14, Mathe 2, Aufgabe 60
2014-07-27 08:51:59 UTC
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