Dies geschieht am besten mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Dabei werden die Gleichungen ´A vec x = vec e_i´ simultan gelöst (wobei ´E = (vec e_1, …, vec e_n)´ die Standardbasis ist).

´[{:(1, 2, 8, 4), (1, 4, 64, 16), (1, 3, 27, 9), (1, −2, −8, 4):} | {:(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1):}]´

Subtraktion der ersten Zeile von allen übrigen ergibt:

´[{:(1,2,8,4), (0, 2, 56, 12), (0, 1, 19, 5), (0, −4, −16, 0):} | {:(1,0,0,0), (−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1):}]´

Wegen der Bequemlichkeit wählen wir die ´1´ in der zweiten Spalte als neues Pivotelement und vertauschen zweite und dritte Zeile. Anschließend werden entsprechende Vielfache der neuen zweiten Zeile zur dritten und vierten addiert.

´[{:(1,2,8,4), (0,1,19,5), (0,2,56,12), (0,−4,−16,0):} | {:(1,0,0,0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 1):}]´

´[{:(1,2,8,4), (0,1,19,5), (0,0,18,2), (0,0,60,20):} | {:(1,0,0,0), (−1, 0, 1, 0), (1, 1, -2, 0), (−5, 0, 4, 1):}]´

Um die Rechnung zu vereinfachen, multipliziert man die dritte Zeile mit ´1/2´, die vierte mit ´1/20´. Anschließend vertauscht man noch die Zeilen drei und vier. Dann subtrahiert man das ´3´-fache der dritten von der letzten Zeile.

´[{:(1,2,8,4), (0,1,19,5), (0,0,3,1), (0,0,9,1):} | {:(1,0,0,0), (−1, 0, 1, 0), (−5//20, 0, 4//20, 1//20), (1//2, 1//2, -1, 0):}]´

´[{:(1,2,8,4), (0,1,19,5), (0,0,3,1), (0,0,0,-2):} | {:(1,0,0,0), (−1, 0, 1, 0), (−5//20, 0, 4//20, 1//20), (5//4, 1//2, -8//5, -3//20):}]´

Um in der Diagonale der Matrix nur Einsen zu haben, wird die dritte Zeile mit ´(1//3)´, die vierte mit ´(−1//2)´ multipliziert.

´[{:(1,2,8,4), (0,1,19,5), (0,0,1,1//3), (0,0,0,1):} | {:(1,0,0,0), (−1, 0, 1, 0), (−10//120, 0, 8//120, 2//120), (-25//40, -10//40, 32//40, 3//40):}]´

Um zur Diagonalgestalt zu kommen, subtrahiert man jetzt ´(1//3)(IV)´ von ´(III)´, ´5(IV)´ von ´(II)´ und ´4(IV)´ von ´(I)´. So fährt man dann weiter fort.

´[{:(1,2,8,0), (0,1,19,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1):} | {:(35//10, 10//10, -32//10, -3//10), (17//8, 10//8, -24//8, -3//8), (15//120, 10//120, -24//120, -1//120), (-25//40, -10//40, 32//40, 3//40):}]´

´[{:(1,2,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1):} | {:(75//30, 10//30, -48//30, -7//30), (-30//120, -40//120, 96//120, -26//120), (15//120, 10//120, -24//120, -1//120), (-25//40, -10//40, 32//40, 3//40):}]´

´[{:(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1):} | {:(180//60, 60//60, -192//60, 12//60), (-30//120, -40//120, 96//120, -26//120), (15//120, 10//120, -24//120, -1//120), (-25//40, -10//40, 32//40, 3//40):}]´

Die Matrix auf der rechten Seite ist nun unsere inverse Matrix. Wir haben also:

´A^(-1) = 1/120 [(360, 120, -384, 24), (-30, -40, 96, -26), (15, 10, -24, -1), (-75, -30, 96, 9)]´