Gegeben seien die Punkte ´P_1 = (1, 1)´, ´P_2 = (7, 2)´ und ´P_3 = (4, 5)´.

Berechne die baryzentrischen Koordinaten ´(u, v, w)´ des Punktes ´Q = (3.5, 2.5)´ für das durch ´P_1´, ´P_2´ und ´P_3´ aufgespannte Dreieck. Gehe dabei wie folgt vor:

  • Formuliere das Problem als Gleichungssystem.
  • Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform als ´Ax = b´.
Approach

´X_Q = u * P1_x + v * P2_x + w * P3_x´ ´Y_Q = u * P1_y + v * P2_y + w * P3_y´

da ´u+v+w = 1´ folgt ´w = 1-u-v´

´X_Q = u * (P3_x - P1_x) + v * (P3_x - P2_x) + P3_x´ ´Y_Q = u * (P3_y - P1_y) + v * (P3_y - P2_y) + P3_y´ ´Q= u * ((P3_x - P1_x),(P3_y - P1_y)) + v * ((P3_x - P2_x),(P3_y - P2_y)) + P_3´ ´Q= ((P3_x - P1_x, P3_x - P2_x),(P3_y - P1_y, P3_y - P2_y)) * ((u),(v)) + P_3´ ´vec(QP_3) = ((P3_x - P1_x, P3_x - P2_x),(P3_y - P1_y, P3_y - P2_y)) * ((u),(v))´ ´((u),(v)) = ((P3_x - P1_x, P3_x - P2_x),(P3_y - P1_y, P3_y - P2_y))^-1 * vec(QP_3)´

Werte einsetzen:

´A = ((P3_x - P1_x, P3_x - P2_x),(P3_y - P1_y, P3_y - P2_y)) = ((1-4,7-4),(1-5,2-5)) = ((-3,3),(-4,-3))´

´b = vec(QP_3) = ((3.5),(2.5)) - ((4),(5)) = ((-0.5),(-2.5))´

A E
´((-3,3),(-4,3))´ ´((1,0),(0,1))´ erste Zeile durch -3
´((1,-1),(-4,-3))´ ´((-1/3,0),(0,1))´ erste Zeile (mal 4) und zweite Zeile addiert sind neue Zeile 2
´((1,-1),(0,-7))´ ´((-1/3,0),(-4/3,1))´ zweite Zeile durch -7
´((1,-1),(0,1))´ ´((-1/3,0),(4/21,-1/7))´ erste Zeile und zweite Zeile addiert sind neue Zeile 1
´((1,0),(0,1))´ ´((-1/7,1/2),(4/21,-1/7))´ DIe Matrix bei E ist die inverse Matrix von A
´A^-1 = ((-1/7,1/2),(4/21,-1/7))´
´((u),(v)) = ((-1/7,1/2),(4/21,-1/7)) * ((-0.5),(-2.5)) = ((1/14+5/14),(-2/21+5/14)) = ((6/14), (11/42)) = ((3/7), (11/42))´

´u = 3/7´

´v = 11/42´

´w = 1 - 18/42 - 11/42 = 13/42´


Solution

  • ´(3/7, 11/42, 13/42)´

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math computer graphics
  • Type: Calculate
  • Duration: 25min
  • Credits: 4
  • Difficulty: 0.7
  • Tags: matrix barycentric coordinate system triangle
  • Note:
    HPI, 2014-05-19, Computergrafik 1, Aufgabe 9a
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-28 20:15:33 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-28 20:15:33 UTC