Gegeben seien die Punkte ´P_1 = (1, 1)´, ´P_2 = (7, 2)´ und ´P_3 = (4, 5)´.

Sei nun ´Q´ ein beliebiger Punkt des von ´P_1´, ´P_2´ und ´P_3´ aufgespannten Dreiecks. Gib unter (ausschließlicher) Verwendung von ´A´ und ´b´ Formeln für die Berechnung der Flächeninhalte der folgenden Dreiecke an:

  • ´(P_1, P_2, P_3)´
  • ´(Q, P_1, P_2)´
  • ´(Q, P_2, P_3)´
  • ´(Q, P_3, P_1)´
Hint 1
Trapezformel, Laplace’scher Entwicklungssatz

Approach

Nach Laplace'schem Bildungssatz gilt

´area(Delta(P_1,P_2,P_3)) = 1/2 det(A)´

Die ´det(A)´ lässt sich auch darstellen als:

´det(A) = ((x_Q-P3_x)(P2_y-P3_y)-(y_Q-P3_y)(P2_x-P3_x))/u´

Bei genauerer Betrachtung erkennt man, dass sich dies auch folgendermaßen darstellen lässt:

´det(A) = det( ((x_Q-P3_x,P2_y-P3_y),(y_Q-P3_y,P2_x-P3_x)) )/u´

´<=> det(vec(P_3P_1),vec(P_3P_2)) = det(vec(P_3Q),vec(P_3P_2))/u´

´<=> area(Delta(P_1,P_2,P_3)) = area(Delta(Q,P_2,P_3))/u´

´<=> area(Delta(P_1,P_2,P_3)) * u = area(Delta(Q,P_2,P_3))´

´u´ lässt sich (siehe Aufgabenteil a) darstellen als: ´|((1,0),(0,0)) * (A^-1 * b) |´

Mit der Matrix gewinnt man den oberen Wert des Vektors, welcher beim Betrag dann allein ist. ´area(Delta(P_1,P_2,P_3))´ wissen wir von oben

´=> area(Delta(Q,P_2,P_3)) = |((1,0),(0,0)) * (A^-1 * b) | * 1/2 det(A)´

analog dazu ist:

´=> area(Delta(Q,P_1,P_3)) = |((0,1),(0,0)) * (A^-1 * b) | * 1/2 det(A)´

und

´=> area(Delta(Q,P_1,P_2)) = (1 - |((0,1),(0,0)) * (A^-1 * b)| - ´´|((1,0), (0,0)) * (A^-1 * b)|) * 1/2 det(A)´


Solution

  • ´A_(P_1 P_2 P_3) = 1/2 | det(A)|´

    ´A_(Q P_3 P_1) = 1/2 |det(A ((1),(0)), b)|´

    ´A_(Q P_2 P_3) = 1/2 |det(A ((0),(1)), b)|´

    ´A_(Q P_1 P_2) = A_(P_1 P_2 P_3) - A_(Q P_3 P_1) - A_(Q P_2 P_3)´

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math computer graphics
  • Type: Calculate
  • Duration: 30min
  • Credits: 4
  • Difficulty: 0.6
  • Tags: triangle area hpi
  • Note:
    HPI, 2014-05-19, Computergrafik 1, Aufgabe 9b
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-28 20:20:46 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-28 20:20:46 UTC