Trapezformel, Laplace’scher Entwicklungssatz

"Nach Laplace'schem Bildungssatz gilt\n\n´area(Delta(P\_1,P\_2,P\_3)) = 1/2 det(A)´\n\n\nDie ´det(A)´ lässt sich auch darstellen als:\n\n´det(A) = ((x_Q-P3_x)(P2_y-P3_y)-(y_Q-P3_y)(P2_x-P3_x))/u´ \n\n\nBei genauerer Betrachtung erkennt man, dass sich dies auch folgendermaßen darstellen lässt:\n\n´det(A) = det( ((x_Q-P3_x,P2_y-P3_y),(y_Q-P3_y,P2_x-P3_x)) )/u´ \n\n´<=> det(vec(P_3P_1),vec(P_3P_2)) = det(vec(P_3Q),vec(P_3P_2))/u´\n\n´<=> area(Delta(P\_1,P\_2,P\_3)) = area(Delta(Q,P\_2,P\_3))/u´\n\n´<=> area(Delta(P\_1,P\_2,P\_3)) \* u = area(Delta(Q,P\_2,P\_3))´\n\n\n´u´ lässt sich (siehe Aufgabenteil a) darstellen als: \n´|((1,0),(0,0)) \* (A^-1 \* b) |´\n\nMit der Matrix gewinnt man den oberen Wert des Vektors, welcher beim Betrag dann allein ist.\n´area(Delta(P\_1,P\_2,P\_3))´ wissen wir von oben\n\n´=> area(Delta(Q,P\_2,P\_3)) = |((1,0),(0,0)) \* (A^-1 \* b) | \* 1/2 det(A)´\n\nanalog dazu ist:\n\n´=> area(Delta(Q,P\_1,P\_3)) = |((0,1),(0,0)) \* (A^-1 \* b) | \* 1/2 det(A)´\n\nund\n\n´=> area(Delta(Q,P\_1,P\_2)) = (1 - |((0,1),(0,0)) \* (A^-1 \* b)| - ´´|((1,0), (0,0)) \* (A^-1 \* b)|) \* 1/2 det(A)´\n"