Es bezeichne ´"Hom"(V,W)´ die Menge der linearen Abbildungen zwischen zwei ´RR´-Vektoräumen ´V´ und ´W´. Für ´f,g in "Hom"(V,W)´, ´x in V´ und ´lambda in RR´ seien auf ´"Hom"(V,W)´ eine Addition und Skalarmultiplikation wie folgt definiert:

  1. ´(f + g)(x) := f(x) + g(x)´
  2. ´(lambda f)(x) := lambda f(x)´

Zeige, dass ´"Hom"(V,W)´ mit dieser Definition ein ´RR´-Vektorraum ist.

Solution

  • V1 - V4 beweisen, dass es eine abelsche Gruppe ist.

    1. V1 - Assoziativ: ´((f+g)+h)(x) = (g+(f+h)(x) ´ da ´(f(x) + g(x)) + h(x) = g(x) + (f(x) + h(x))´ aus (1)

    2. V2 - Existenz eines neutralen Elements bezüglich Addition: wenn ´g(x)=0´ dann ist g das neutrale Element für alle ´f(x)=f(x)+g(x)´

    3. V3 - Existenz eines inversen Elements: ´f(x)^-1 = -f(x)´

    4. V4 - Kommutativ: ´(f+g)(x) = (g+f)(x)´ da ´f(x) + g(x) = g(x) + f(x)´ aus (1)

    S1 - S4 garantieren die saubere Multiplikation mit einem Skalar.

    1. S1 - Distributiv mit einem Skalar: ´(lambda(f+g)(x)) = lambda (f+g)(x) = lambda f (x) + lambda g (x)´ aus (1) & (2)

    2. S2 - Skalar distributiv mit Element des Vektorraums ´((lambda + eta) f(x)) = (lambda + eta) (f)(x) = lambda f(x) + eta f(x)´ aus (1) & (2)

    3. S3 - Assoziativ mit einem Skalar ´(lambda * eta) * f(x) = lambda * (eta * f(x))´ aus (2)

    4. S4 - Existenz eines neutralen Elements bezüglich Multiplikation mit Skalar: Wenn ´lambda = 1´ dann ist ´lambda´ das neutrale Element für alle ´f(x) = lambda * f(x))´

    Da hiermit alle 8 Eigenschaften gezeigt sind, ist ´"Hom"(V,W)´ ein Vektorraum.

  • URL:
  • Language:
  • Subjects: math computer graphics
  • Type: Proof
  • Duration: 30min
  • Credits: 4
  • Difficulty: 0.7
  • Tags: vector space hpi
  • Note:
    HPI, 2014-05-19, Computergrafik 1, Aufgabe 10
  • Created By: adius
  • Created At:
    2014-07-28 20:25:24 UTC
  • Last Modified:
    2014-07-28 20:25:24 UTC